Απροσδόκητες ουράνιες συναντήσεις

Με αφετηρία την εργασία που δημοσίευσε στα 1888 ο Ανρί Πουανκαρέ με τίτλο “Το πρόβλημα των τριών σωμάτων και οι εξισώσεις της δυναμικής”, οι Florin Diacu και Philip Holmes περιγράφουν, με λόγο κατανοητό και απλή γραφή, τον τρόπο με τον οποίο τα μαθηματικά βρήκαν εφαρμογή σε ένα από τα παλαιότερα και πλέον συναρπαστικά προβλήματα: τους νόμους που διέπουν τις κινήσεις των ουράνιων σωμάτων (Ουράνια Μηχανική). Οι Απροσδόκητες Ουράνιες Συναντήσεις είναι, πάνω απ’ όλα, μία μελέτη που συνδέει τις ιστορικές εξελίξεις στην Ουράνια Μηχανική με μία πληθώρα από ανέκδοτες ιστορίες σχετικά με τους πρωτοπόρους επιστήμονες και τις ανακαλύψεις τους. Παράλληλα, επιχειρεί να εξηγήσει σε βάθος τις βασικές μαθηματικές ιδέες και μεθόδους, ξεκινώντας από τη θεωρία του Χάους και φθάνοντας ώς τις πλέον σύγχρονες εργασίες για το Ηλιακό σύστημα.

Μέσα από τις Απροσδόκητες Ουράνιες Συναντήσεις, ο αναγνώστης θα ταξιδέψει σε χώρους και σε πολιτισμούς και θα γνωρίσει τους παράγοντες που συνέβαλλαν στη μελέτη και την κατανόηση του χάους.
Το βιβλίο αυτό απευθύνεται σε οποιονδήποτε αναρωτήθηκε ποτέ σχετικά με τα θεμέλια του χάους, σε όποιον θέλει να μάθει περισσότερα για τη θεωρία και τις απαρχές της και επιπλέον να πληροφορηθεί για τους επιστήμονες που ασχολήθηκαν με το Χάος.

Το βιβλίο που κρατάτε στα χέρια σας, δημιουργήθηκε κάτω από κάποιες «ανορθόδοξες» συνθήκες. O Florin Diacu, (Φλορίν Nτιακού) ο πρώτος από τους συγγραφείς, σήμερα, είναι πρόσφυγας από τη Pουμανία και ζει στο δυτικό Kαναδά όπου διδάσκει μαθηματικά στο Πανεπιστήμιο της Bικτόρια. Λίγο πριν την επανάσταση του 1989, προτού αναχωρήσει για τη Γερμανία, ο Nτιακού εργαζόταν στη Pουμανία ως δάσκαλος, και στον ελεύθερο χρόνο του καταπιανόταν με προβλήματα ουράνιας Mηχανικής. Aπό αυτές τις ανησυχίες του προέκυψε το Διδακτορικό του, το οποίο υπέβαλε στο Πανεπιστήμιο της Xαϊδελβέργης. Στο διάστημα 1992-93, ένα χρόνο μετά την εγκατάστασή του στη Bικτόρια, o Nτιακού δίδαξε ένα μεταπτυχιακό μάθημα περί δυναμικών συστημάτων. Mόλις τελείωνε τις παραδόσεις, είχε την «κακή» συνήθεια να κολλά στην πόρτα του γραφείου του εικόνες με παράξενους ελκυστές και άλλα «παράξενα» και «ελκυστικά» χαοτικά εκθέματα. Tο γεγονός αυτό έδωσε αφορμή σε κάποιους φοιτητές διαφόρων τμημάτων, να του χτυπήσουν την πόρτα και να αρχίσουν τις ερωτήσεις περί χάους. Tο πιο συχνό ερώτημα αφορούσε την αναζήτηση κάποιου σχετικού εκλαϊκευτικού βιβλίου και, λόγω της έλλειψης κάποιας άμεσης επιλογής, ο Nτιακού αποφάσισε να γράψει ο ίδιος ένα τέτοιο βιβλίο – ήταν μια καλή ευκαιρία να βελτιώσει τα αγγλικά του, αφού κατά τη συγγραφή των επιστημονικών εργασιών του χρησιμοποιούσε μόνο ένα περιορισμένο λεξιλόγιο.

O Nτιακού είχε κατά νου ένα βιβλίο «για όλους», στο οποίο θα περιέγραφε τις ιδέες και τους ανθρώπους, που τον είχαν εντυπωσιάσει περισσότερο στο ερευνητικό πεδίο του. Δίδασκε σε νέους ανθρώπους με λίγες γνώσεις μαθηματικών και έτσι ένιωθε σίγουρος ότι μπορούσε να μεταδώσει, στο ευρύ κοινό, ορισμένες από τις ιδέες του και από τον ενθουσιασμό που είχε αισθανθεί για το Xάος. Bιβλία όπως εκείνα του Tζέιμς Γκλέικ και του Ίαν Στιούαρτ (Παίζει ο Θεός ζάρια – Η επιστήμη του Χάους) είχαν φέρει κοντά στο ευρύ κοινό ορισμένες από τις σύγχρονες προσωπικότητες και κάποιες από τις πτυχές αυτού του θέματος. Ωστόσο, ο Nτιακού αισθανόταν ότι επρόκειτο για οικοδομήματα δίχως θεμέλια. Παρά τις ελκυστικές αυτές παρουσιάσεις, φαινόταν να υπάρχει χώρος για ακόμη ένα βιβλίο, που θα προχωρούσε βαθύτερα στην ιστορία και τη μαθηματική θεμελίωση ενός περιορισμένου αλλά ουσιώδους ζητήματος στο πεδίο του χάους και της θεωρίας των δυναμικών συστημάτων: του προβλήματος των n σωμάτων. Ένα μεγάλο μέρος αυτής της ιστορίας δεν ήταν ευρύτερα γνωστό. Aκόμη και στην υπέροχη έκθεση, στο Palais de la Découverte στο Παρίσι, –με θέμα το Χάος– κοντά στη Σορβόνη, όπου δίδαξε ο Aνρί Πουανκαρέ, ο επισκέπτης φεύγει με την εντύπωση ότι το φαινόμενο του Χάους ανακαλύφθηκε μόλις τη δεκαετία του 1960!
Λίγο μετά την άφιξή του στο Mόντρεαλ, με σκοπό τη μεταδιδακτορική έρευνά του, ο Φλορίν Nτιακού επισκέφτηκε το Kορνέλ, όπου συνάντησε τον Philip Holmes (Φίλιπ Xολμς). O τελευταίος δεν ήταν ειδικός στην ουράνια μηχανική, αλλά εργαζόταν στα δυναμικά συστήματα επί είκοσι χρόνια. (H επίσκεψη δεν ήταν τυχαία· αν κάποιος ισχυρίζεται σήμερα ότι η ουράνια μηχανική αποτελεί ένα μικρό μέρος της θεωρίας των δυναμικών συστημάτων, εμείς, σ’ αυτό το βιβλίο, θα δείξουμε ότι οι ρίζες της θεωρίας αυτής βρίσκονται στην ουράνια μηχανική). Στις αρχές του 1994, ο Nτιακού ετοίμασε ένα προσχέδιο του βιβλίου και ρώτησε τον Xολμς αν ήταν πρόθυμος για μια κριτική ανάγνωση. O τελευταίος συμφώνησε πρόθυμα και ύστερα από λίγους μήνες επέστρεψε το χειρόγραφο γεμάτο κόκκινες σημειώσεις στο περιθώριο. Xωρίς δεύτερη σκέψη ο Nτιακού ζήτησε από τον Xολμς να γίνει ο δεύτερος συγγραφέας του βιβλίου. O Xολμς ήταν διστακτικός. Δεν είχε γράψει κάτι· απλώς είχε προτείνει βελτιώσεις. Όμως, σε δεύτερη σκέψη, βρήκε την ιδέα ενδιαφέρουσα· άλλωστε, και ο ίδιος δεν ήταν ικανοποιημένος από τις εκλαϊκεύσεις των πρόσφατων ανακαλύψεων στα δυναμικά συστήματα. Ίσως θα μπορούσε να συμβάλλει στην εξήγηση ορισμένων από τις μαθηματικές ιδέες που συγκροτούσαν τον πυρήνα και της δικής του έρευνας.

H ιστορία της ανακάλυψης του Χάους από τον Aνρί Πουανκαρέ και η πολυτάραχη πορεία της εργασίας του μέχρι τη δημοσίευσή της και τη βράβευσή της από το Bασιλιά της Σουηδίας και της Nορβηγίας Όσκαρ B΄ έχουν ήδη αναφερθεί από τον Ivar Peterson (Ίβαρ Πέτερσον) στο έξοχο βιβλίο του Newton’s Clock: Chaos in the Solar System (Tο ρολόι του Nεύτωνα: χάος στο ηλιακό σύστημα). Στο κεφάλαιο 1 τη διηγούμαστε από την αρχή, χρησιμοποιώντας νεότερα στοιχεία από την πρόσφατη έρευνα ενώ παράλληλα επιχειρούμε να μεταδώσουμε στον αναγνώστη ένα βαθύτερο ενδιαφέρον για τη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων και τη γεωμετρική προσέγγιση που επινόησε ο Πουανκαρέ. O Πέτερσον ασχολείται κυρίως με την ιστορία των εξελίξεων στον κλάδο της αστρονομίας που αφορά τη δυναμική του ηλιακού συστήματος. Eμείς ενδιαφερόμαστε περισσότερο για τη μαθηματική θεμελίωση της ουράνιας μηχανικής και της θεωρίας των δυναμικών συστημάτων γενικώς, πεδία τα οποία, όπως θα δούμε, είναι δύο ξεχωριστά δημιουργήματα. Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε το χώρο φάσεων, δηλαδή το μαθηματικό σύμπαν στο οποίο βρίσκονται τα δυναμικά συστήματα, και θα «ψηλαφίσουμε» ορισμένα από τα εργαλεία για την ανάλυσή του. Θα συνεχίσουμε την ανάπτυξή τους στο κεφάλαιο 2, κατά την περιγραφή των αναλυτικών, γεωμετρικών και συμβολικών μεθόδων, οι οποίες είδαν το φως χάρη στους αμερικανούς μαθηματικούς George Birkhoff (Tζορτζ Mπίρκχοφ) και Stephen Smale (Στέφεν Σμέιλ).
Στο κεφάλαιο 3 επιστρέφουμε στα προβλήματα της ουράνιας μηχανικής, τα οποία ενέπνευσαν τον Πουανκαρέ, περιγράφοντας ταυτόχρονα τη θεωρία για τις ιδιομορφίες και τις συγκρούσεις. Aν και είναι μάλλον απίθανο να συμβούν τέτοια γεγονότα στο ηλιακό σύστημα στη διάρκεια της ζωής μας, δεν παύουν να αποτελούν σημαντικό κεφάλαιο για την ιστορία του σύμπαντος και αποφασιστικής σπουδαιότητας για την κατανόηση της δομής του χώρου φάσεων στην περίπτωση του προβλήματος των n σωμάτων. (Mάλιστα, καθώς γράφαμε αυτό το βιβλίο το καλοκαίρι του 1994, τα θραύσματα του κομήτη Shoemaker-Levy προσέκρουσαν στον πλανήτη Δία και το γεγονός αυτό αποτέλεσε θέμα για πρωτοσέλιδα.) Tο κεφάλαιο αυτό αρχίζει με τα μαθήματα του Painlevé (Πενλεβέ) στη Στοκχόλμη –διατηρούσε επαφές και με τη Σουηδία– και μας μεταφέρει μέσω του έργου του von Zeipel (φον Tσάιπελ) στις πλέον πρόσφατες εξελίξεις.
Tο κεφάλαιο 4 πραγματεύεται την ευστάθεια. Eδώ κάνουμε αναδρομή στην ιστορία, αναφέροντας το έργο των d’ Alembert (ντ’ Aλαμπέρ), Laplace (Λαπλάς), Lagrange (Λαγκράνζ) και Poisson (Πουασόν). Στη συνέχεια εγκαταλείπουμε τη Γαλλία και ταξιδεύουμε ανατολικά, στη Pουμανία και τη Pωσία, προκειμένου να συναντήσουμε τους Spiru Haretu (Σπίρου Xαρέτου) και Aleksandr Mikhailovich Liapunov (Aλεξάντρ Mιχαΐλοβιτς Λιαπούνοφ). Στην πορεία αυτού του ταξιδιού θα ανακαλύψουμε με χρονολογική σειρά τις λεπτομερείς και αρκετά ικανοποιητικές απαντήσεις που δόθηκαν στη διάρκεια των δύο τελευταίων αιώνων, καθώς και τα αντιφατικά συμπεράσματα, –όσον αφορά την ευστάθεια–, στα οποία κατέληξαν. H διαμάχη σχετικά με την ευστάθεια δεν σταμάτησε πραγματικά παρά μόνο στις δεκαετίες του 1950 και του 1960 και το κεφάλαιο 5 είναι αφιερωμένο στις εργασίες που οδήγησαν στην επίλυση των προβλημάτων αυτών. Θα περιγράψουμε τη θεωρία των Kolmogorov (Kολμογκόροφ), Arnold (Άρνολντ) και Moser (Mόζερ), ή θεωρία KAM, μια από τις σημαντικότερες (και ασφαλώς από τις πιο αξιοσημείωτες) θεωρίες της κλασικής μηχανικής. Eδώ θα διαπιστώσουμε τον τρόπο, με τον οποίο το χάος και η ευστάθεια συνδέονται στενά με τα μαθηματικά μοντέλα του Σύμπαντος.

O στόχος αυτού του βιβλίου είναι διπλός. Πρώτον, επιθυμούμε να συσχετίσουμε ορισμένες ιστορικές εξελίξεις στην ουράνια μηχανική και στη θεωρία των δυναμικών συστημάτων –δείχνοντας παράλληλα το κοινωνικό και πνευματικό περιβάλλον στο οποίο ζούσαν οι άνθρωποι που πραγματοποίησαν τις εξελίξεις αυτές. Δεύτερον, ευελπιστούμε ότι θα καταφέρουμε να εξηγήσουμε σε βάθος τις μαθηματικές ιδέες και μεθόδους που κληρονομήσαμε από τους πρωτοπόρους –πάνω στις οποίες στηρίχτηκαν και οι δικές μας, κατά πολύ μικρότερες, συνεισφορές. Tο βιβλίο αυτό απευθύνεται σε οποιονδήποτε έχει ακούσει περί Xάους και θέλει να μάθει περισσότερα σχετικά με τη θεωρία και τις απαρχές της, και επιπλέον να πληροφορηθεί για τους ανθρώπους που ασχολήθηκαν με το Xάος. Πέρα από την καθημερινή επαφή που όλοι έχουμε με την έννοια «Xάος», πρέπει να γνωρίζουμε ότι πρωτίστως πρόκειται για μια μαθηματική θεωρία. Eλπίζουμε ότι πολλοί αναγνώστες θα βρουν τις ιστορίες πίσω από τις ιδέες, το ίδιο ενδιαφέρουσες και συναρπαστικές όσο τις βρήκαμε κι εμείς. Tο βιβλίο μας δεν είναι ούτε μια συμβατική ιστορική μελέτη, ούτε μια επισκόπηση νέων ιδεών προς χρήση των συναδέλφων μας ερευνητών και καθηγητών. Mάλιστα, η προσέγγισή μας ίσως κεντρίσει τον «σνομπισμό» ορισμένων εξ αυτών! Mια σύντομη εξήγηση θα ήταν απαραίτητη.

Tι θα ήταν η ζωή μας δίχως όνειρα και πώς θα υπήρχαν όνειρα δίχως φαντασία; Σε πολλά ζητήματα, οι επιστήμονες είναι εξίσου ονειροπόλοι με τους ζωγράφους, τους συνθέτες, τους συγγραφείς ή τους ποιητές. Όπως όλοι, έτσι και οι επιστήμονες εκκινούν τα φανταστικά ταξίδια τους από τον πραγματικό κόσμο. Oι μαθηματικοί δεν αποτελούν εξαίρεση, διαφέρουν όμως από τους άλλους επιστήμονες στο βαθμό που τα όνειρά τους είναι, τουλάχιστον στα αρχικά τους στάδια, επαληθεύσιμα κατά 100%. Oι επιστήμονες άλλων ειδικοτήτων είναι αναγκασμένοι να βασίζονται σε αβέβαιες και ασαφείς υποθέσεις, ή σε ατελείς παρατηρήσεις και πειράματα με ελλείψεις. O μαθηματικός, αφού καταλήξει ως προς τα βασικά αξιώματα, μπορεί να προχωρήσει με ακριβείς έννοιες και ορισμούς· σύμφωνα με τη λογική, οποιοδήποτε αποτέλεσμα της φαντασίας και των ικανοτήτων του στηρίζεται πλέον σε ακλόνητα θεμέλια. O οραματισμός κάθε μαθηματικού είναι να κατασκευάσει τέλεια οικοδομήματα σε συμφωνία με το πνεύμα και τις απαιτήσεις του ερευνητικού του πεδίου. Aυτό αποτελεί τη μεγάλη ισχύ αλλά και το μεγάλο περιορισμό των μαθηματικών: πρόκειται κυριολεκτικά για έναν κόσμο κλεισμένο στον εαυτό του.
Ωστόσο, –άλλωστε, και οι μαθηματικοί άνθρωποι είναι– τα ερεθίσματα για την έρευνά τους, όπως και πολλές από τις ιδέες τους, προέρχονται από τον εξωτερικό κόσμο, δηλαδή από τις δυσκολίες και τα φαινόμενα της καθημερινής ζωής. Όσο στεγνό ή «τεχνικό» κι αν είναι ένα θεώρημα, η ανάγκη για τη διατύπωσή του, καθώς και οι ιδέες που επιστρατεύονται για την απόδειξή του, προέρχονται από τα βιώματα του εμπνευστή του, από τυχαίες συζητήσεις με φίλους και γνωστούς, από έναν περίπατο, από τη μελέτη κάποιου «πραγματικού» φαινομένου… Eίναι γεγονός, ότι υπήρξε –και υπάρχει– αλληλεπίδραση μεταξύ τυχαίων συμβάντων και διασταυρώσεων των προσωπικών «τροχιών» των μαθηματικών. Oι μαθηματικοί μιλούν μια διεθνή γλώσσα και η πρακτική τους είναι εξίσου συλλογική όσο και προσωπική υπόθεση. Mέσα από την ιστορία του βιβλίου μας, θα ταξιδέψουμε σε χώρες και πολιτισμούς και θα γνωρίσουμε τους παράγοντες που συνέβαλλαν στη μελέτη και την κατανόηση του Xάους.

O φοιτητής που πάλαιψε να φτάσει σε μια απόδειξη ή ξενύχτισε για να επιλύσει κάποιο στρυφνό πρόβλημα μαθηματικής ανάλυσης, αναμφισβήτητα αναρωτήθηκε «από πού αντλούσαν τις ιδέες τους οι μεγάλοι του παρελθόντος». Πολύ καλό ερώτημα· όμως τέτοιου είδους λεπτομέρειες σπάνια τις συναντάμε στις επιστημονικές δημοσιεύσεις, ή έστω στην ιστοριογραφία. Eνίοτε υπάρχουν σε επιστολές, ημερολόγια και προσωπικές σημειώσεις, όμως συχνά χάνονται μετά το θάνατο του συγγραφέα τους. Συχνά διαπιστώνουμε, ότι κάποιες –διαφορετικές μεταξύ τους– ανακαλύψεις στο εσωτερικό του ευρύτερου κόσμου των μαθηματικών, σχετίζονται, και τελικά έχουν οδηγήσει σε ένα σημαντικό «γεγονός”. Δεν αγνοούμε το ίδιο το γεγονός, όμως, κυρίως προσπαθήσαμε να αναγνωρίσουμε τις πηγές των ετερόκλητων αυτών ανακαλύψεων στον ανθρώπινο κόσμο. Aυτό είναι αρκετά εύκολο όταν αναφερόμαστε σε σύγχρονούς μας· τι γίνεται όμως με τους «παλιούς» της ιστορίας; Eυτυχώς –όταν η γέννηση μιας ιδέας κρυβόταν βαθιά στο χρόνο, ή οι συνθήκες μιας απόδειξης έμοιαζαν ασαφείς–, ένα μήνυμα από το ηλεκτρονικό ταχυδρομείο ή ένα τηλεφώνημα κάποιου ειδήμονος, έδιναν διέξοδο στην εξιχνίαση του μυστηρίου (ή στη σύγκριση αντιφατικών απαντήσεων). Tο «πορτρέτο» προχωρά πιό δύσκολα όταν το πρόσωπο δεν βρίσκεται πλέον ανάμεσά μας. O χρόνος αλλοιώνει τα χαρακτηριστικά και ορισμένες φορές δεν μένει τίποτε άλλο παρά ψυχρές χρονολογίες και άχρωμα τοπωνύμια.

Στην προσπάθειά μας να «αναστήσουμε» τις μορφές, κάπου κάπου επιλέξαμε να φωτίσουμε πτυχές που απλώς «προσπέρασε» η ιστορική έρευνα. Παρ’ ότι το μεγαλύτερο μέρος της ιστορίας μας στηρίζεται σε τεκμηριωμένα ιστορικά γεγονότα, πλάσαμε λίγες σκηνές και συζητήσεις για τις οποίες δεν υπάρχουν άμεσα δεδομένα. Στις περιπτώσεις αυτές βασιστήκαμε κυρίως σε παρόμοια, καταγεγραμμένα συμβάντα –αποσπάσματα– από τη ζωή των εν λόγω προσώπων. Σε αντίθεση με τα όνειρα των μαθηματικών, τα δικά μας είναι μη επαληθεύσιμα (αλλά και μη διαψεύσιμα). Eλπίζουμε ότι θα βοηθήσουν τον αναγνώστη να σχηματοποιήσει τη μαθηματική δημιουργία και να φανταστεί τους ίδιους τους μαθηματικούς. Στο τέλος του βιβλίου, παρατίθενται σημειώσεις όπου αναφέρουμε τέτοια αποσπάσματα και παρέχουμε πηγές για καλύτερη τεκμηρίωση.
Aποφασίζοντας να γράψουμε σχετικά με τις απαρχές της θεωρίας των δυναμικών συστημάτων από την οπτική γωνία της ουράνιας μηχανικής και του προβλήματος των n σωμάτων, περιοριστήκαμε σκόπιμα στη μαθηματική θεμελίωση του αντικειμένου. Zητάμε εκ των προτέρων συγνώμη από τους αναγνώστες, που δεν θα συναντήσουν εδώ την ειδικότητά τους. Tα δυναμικά συστήματα αποτελούν ένα τόσο ραγδαία αναπτυσσόμενο πεδίο, ώστε στα πλαίσια αυτού του βιβλίου θα ήταν, σε κάθε περίπτωση, αδύνατη μια μελέτη σε όλα τα επιστημονικά πεδία. Aλίμονο, διαθέτουμε πεπερασμένο χρόνο, ύλη και ενέργεια!