Υπόθεση Ρίμαν

Βερολίνο, Αύγουστος 1859: ο Μπέρνχαρντ Ρίμαν γίνεται αντεπιστέλλον μέλος της Ακαδημίας – εξαιρετική τιμή για έναν τόσο νέο και άσημο μαθηματικό, μόλις 32 ετών. Όπως συνηθιζόταν σε τέτοιες περιπτώσεις, ο Ρίμαν υπέβαλε στην Ακαδημία μια εργασία με την οποία διερευνούσε το φλέγον μαθηματικό πρόβλημα της εποχής, «σχετικά με το πλήθος των Πρώτων Αριθμών που είναι μικρότεροι από κάποιον δεδομένο αριθμό».
Στο κείμενό του ο Ρίμαν πραγματευόταν ένα γνωστό πρόβλημα της κλασικής αριθμητικής. Για να καταλάβουμε το πρόβλημα ας αναρωτηθούμε: Πόσοι πρώτοι αριθμοί υπάρχουν, μικρότεροι από το 20; Η απάντηση είναι οκτώ: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 και 19. Πόσοι μικρότεροι από το χίλια; Από το ένα εκατομμύριο; Από το ένα δισεκατομμύριο; Υπάρχει κάποιος γενικός τύπος που να μας δίνει το πλήθος των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι από ένα δοσμένο αριθμό χωρίς να χρειάζεται να τους μετρήσουμε;
Στην εργασία του, περιέλαβε μια συμπτωματική αλλά πολύ κρίσιμη εικασία – μια Υπόθεση. Δήλωσε ότι είναι πέρα για πέρα αληθινή και, μάλιστα, ότι μέσα από την Υπόθεσή του προκύπτει ο γενικός τύπος παραγωγής Πρώτων Αριθμών. Λίγο αργότερα ο Ρίμαν πέθανε. Η σπιτονοικοκυρά του έκαψε όλα τα προσωπικά χαρτιά του και έκτοτε, κανείς δεν έμαθε αν ο Ρίμαν είχε όντως αποδείξει την Υπόθεσή του.

Στην προσπάθειά του να επιλύσει τον γρίφο των Πρώτων Αριθμών, ο Ρίμαν διέκρινε κάτι μυστηριώδες που έκρυβε μια ασύλληπτη μαθηματική ομορφιά: οι Πρώτοι Αριθμοί κατανέμονταν ομοιόμορφα –με ανεπαίσθητες αποκλίσεις– σε ένα τρισδιάστατο σύμπαν αριθμών. Εκθαμβωτική στη διαύγειά της και καταπληκτική στις δυνητικές εφαρμογές της, η Υπόθεση του Ρίμαν απέκτησε τεράστια σημασία για τα Μαθηματικά. Η απόδειξη ή η απόρριψή της αποτελεί μέχρι σήμερα την ύψιστη πρόκληση για τους μαθηματικούς όλου του κόσμου.
Οι σημαντικότερες ιδιοφυΐες του πλανήτη μας έχουν συνειδητοποιήσει ότι η επίλυσή της είναι το κλειδί για τις σύγχρονες μαθηματικές και ευρύτερα επιστημονικές ανησυχίες μας. Από τη σύγχρονη κρυπτογραφία, τους πανταχού παρόντες κωδικούς ασφαλείας, μέχρι τη φυσική των ατομικών πυρήνων, η εξάρτηση από τις ιδιότητες των πρώτων αριθμών είναι δεδομένη και συνυφασμένη με την απόδειξη της Υπόθεσης Ρίμαν.
Ολόκληρος ο εικοστός αιώνας χαρακτηρίστηκε από τη μονομανία των μαθηματικών να αποδείξουν την Εικασία του Γερμανού μαθηματικού. Σήμερα η Υπόθεση του Ρίμαν, είναι η μεγάλη λευκή φάλαινα, το πιο περιζήτητο θήραμα της μαθηματικής έρευνας.

«Το πνεύμα αυτού του βιβλίου, αυτός που έμοιαζε συχνά να σκύβει πάνω απ’ τον ώμο μου την ώρα που το έγραφα, που συχνά φανταζόμουν πως τον ακούω να ξεροβήχει στο διπλανό δωμάτιο ή πως τον ένιωθα να κινείται διακριτικά στο παρασκήνιο τόσο των μαθηματικών όσο και των ιστορικών μου κεφαλαίων, υπήρξε ο Μπέρναρντ Ρίμαν. Διαβάζοντας έργα του ή κείμενα που τον αφορούσαν ανέπτυξα ένα παράξενο μείγμα συναισθημάτων γι’ αυτόν: ιδιαίτερη συμπάθεια για την κοινωνική του δυσπραγία, την κλονισμένη του υγεία, τις επαναλαμβανόμενες ατυχίες του, τη χρόνια πενία του και συνάμα έναν απέραντο θαυμασμό για την τεράστια δύναμη του νου και της καρδιάς του».

… Αυτός ο παράξενος, εσωστρεφής χαρακτήρας πήρε τη σκυτάλη από τον Γκάους και διέκρινε ότι μπορούσε να χρησιμοποιήσει τη συνάρτηση ζ για να δημιουργήσει ένα τρισδιάστατο, μαθηματικό τοπίο. Σαν μαγικός καθρέφτης, η συνάρτηση τον πήρε από το σύμπαν των αριθμών και τον μετέφερε στον κόσμο της γεωμετρίας. Ο Ρίμαν κοίταξε τον καθρέφτη, πήρε μια ανάσα και πέρασε στο εσωτερικό του. Ποιος θα το φανταζόταν!
Η συνάρτηση ζ συνδεόταν με τους πρώτους. Ο Ρίμαν ανακάλυψε έναν θησαυρό αμύθητης αξίας…
Η «Υπόθεση Ρίμαν» είναι η συναρπαστική ιστορία του ανηλεούς κυνηγητού για μια άπιαστη μαθηματική απόδειξη – καθώς και των ανθρώπων που σπατάλησαν τη ζωή τους για χάρη της.

Η «Υπόθεση Ρίμαν» είναι ένα βιβλίο που θα αγαπήσουν οι μη μαθηματικοί. Για τους μαθηματικούς –ιδιαίτερα για τους νέους που σκοπεύουν να γίνουν μαθηματικοί– αυτό το έργο είναι μια πηγή έμπνευσης, διασκέδασης και πληροφόρησης. Ο Ντέρμπισαϊρ έκανε μια υπέροχη δουλειά. Τήρησε σοφά τις αναλογίες που απαιτούνται έτσι ώστε ένα βιβλίο να γίνει αφενός «ο πηγαιμός για τη Ιθάκη» και αφετέρου ένα χρήσιμο ανάγνωσμα που θα οδηγήσει σε συγκεκριμένο στόχο, έχοντας εφοδιάσει τον αναγνώστη με ιστορικά, βιογραφικά και επιστημονικά στοιχεία. Ακόμη και όσοι ειδικεύονται στα μαθηματικά της Υπόθεσης Ρίμαν, θα εκτιμήσουν αυτό το βιβλίο και θα μάθουν πολλά μέσα από τις σελίδες του. Κρύβει εξαιρετικό ενδιαφέρον και είναι σίγουρο πως θα διαβάζεται επί πολλά χρόνια.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Πρόλογος

Μέρος Πρώτο
Το θεώρημα των πρώτων αριθμών

Κεφάλαιο 1: Ένα κόλπο με την τράπουλα
Κεφάλαιο 2: Το χωράφι και η σοδειά
Κεφάλαιο 3: Το θεώρημα των πρώτων αριθμών
Κεφάλαιο 4: Στους ώμους γιγάντων
Κεφάλαιο 5: Η συνάρτηση ζ του Ρίμαν
Κεφάλαιο 6: Η Μεγάλη Σύντηξη
Κεφάλαιο 7: Το Χρυσό Κλειδί κι ένα βελτιωμένο θεώρημα των πρώτων αριθμών
Κεφάλαιο 8: Όχι εντελώς ανάξιο…
Κεφάλαιο 9: Επέκταση του πεδίου ορισμού
Κεφάλαιο 10: Μια απόδειξη-ορόσημο

Μέρος Δεύτερο
Η υπόθεση του Ρίμαν

Κεφάλαιο 11: Εννιά Βασίλισσες Ζουλού Κυβέρνησαν την Κίνα
Κεφάλαιο 12: Το όγδοο πρόβλημα του Χίλμπερτ
Κεφάλαιο 13: Το μυρμήγκι του αρχετύπου και το μυρμήγκι της εικόνας
Κεφάλαιο 14: Αιχμάλωτοι του πάθους
Κεφάλαιο 15: Το Ο και το μ του Μέμπιους
Κεφάλαιο 16: Σκαρφαλώνοντας την κρίσιμη ευθεία
Κεφάλαιο 17: Λίγη άλγεβρα
Κεφάλαιο 18: Η θεωρία αριθμών συναντά την κβαντομηχανική
Κεφάλαιο 19: Γυρνώντας το Χρυσό Κλειδί στην κλειδαριά
Κεφάλαιο 20: Ο τελεστής Ρίμαν και άλλες προσεγγίσεις
Κεφάλαιο 21: Το σφάλμα
Κεφάλαιο 22: Ή είναι αληθής, ή αλλιώς δεν είναι

Επίλογος
Παράρτημα
Ευρετήριο

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Τον Αύγουστο του 1859, ο Μπέρνχαρντ Ρίμαν έγινε αντεπιστέλλον μέλος της Ακαδημίας του Βερολίνου – εξαιρετική τιμή για έναν τόσο νεαρό μαθηματικό (ήταν μόλις 32 ετών). Όπως συνηθιζόταν σε τέτοιες περιπτώσεις, ο Ρίμαν υπέβαλε στην Ακαδημία μια εργασία στην οποία περιέγραφε μια από τις έρευνές του. Ο τίτλος του αντίστοιχου άρθρου ήταν: «Σχετικά με το πλήθος των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι από κάποιον δεδομένο αριθμό». Μέσα στο άρθρο, ο Ρίμαν διερευνούσε ένα γνωστό πρόβλημα της κλασικής αριθμητικής. Για να καταλάβουμε το πρόβλημα ας αναρωτηθούμε: Πόσοι πρώτοι αριθμοί υπάρχουν, μικρότεροι από το 20; Η απάντηση είναι οκτώ: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 και 19. Πόσοι μικρότεροι από το χίλια; Από το ένα εκατομμύριο; Από το ένα δισεκατομμύριο; Υπάρχει κάποιος γενικός τύπος ο οποίος μας δίνει το πλήθος των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι από έναν δεδομένο αριθμό, χωρίς να χρειάζεται να τους μετρήσουμε;
Ο Ρίμαν προσέγγισε το πρόβλημα με τα πιο προχωρημένα Μαθηματικά της εποχής του, χρησιμοποιώντας «εργαλεία» που και σήμερα ακόμα διδάσκονται μόνο σε υψηλού επιπέδου πανεπιστημιακά μαθήματα, και επινοώντας για τις ανάγκες της έρευνάς του ένα πολύ ισχυρό και περίπλοκο μαθηματικό αντικείμενο. Κάπου προς το μέσο του άρθρου του, διατύπωσε μια εικασία σχετικά με αυτό το αντικείμενο και στη συνέχεια παρατήρησε:

Θα θέλαμε φυσικά να είχαμε μια αυστηρή απόδειξη αυτού του ισχυρισμού. Ωστόσο, ύστερα από κάποιες σύντομες άκαρπες προσπάθειες να ανακαλύψω αυτή την απόδειξη, παρέκαμψα το θέμα αφού δεν είναι απαραίτητο για τους άμεσους στόχους της έρευνάς μου.

Για αρκετές δεκαετίες δεν δόθηκε καμιά προσοχή σ’ αυτή την περιστασιακή αναφορά. Ύστερα, για λόγους που σκοπεύω να εξηγήσω σ’ αυτό το βιβλίο, το πρόβλημα άρχισε σταδιακά να κυριεύει τη σκέψη των μαθηματικών, μέχρι που έφτασε να γίνει μια βασανιστική μονομανία.
Η Υπόθεση του Ρίμαν, όπως τελικά ονομάστηκε αυτή η εικασία, παρέμεινε μονομανία ολόκληρο τον 20ό αιώνα και έτσι παραμένει ως τις μέρες μας, αφού μέχρι σήμερα αντιστέκεται σθεναρά σε κάθε προσπάθεια απόδειξης ή κατάρριψης. Σήμερα, μάλιστα, η μονομανία έχει γίνει ακόμα πιο βασανιστική, αφού στο μεταξύ λύθηκαν άλλα μεγάλα ανοικτά προβλήματα: το Θεώρημα των Τεσσάρων Χρωμάτων (διατυπώθηκε το 1852 και αποδείχτηκε το 1976), το τελευταίο θεώρημα του Φερμά (διατυπώθηκε πιθανότατα το 1637 και αποδείχτηκε το 1994) αλλά και πολλά άλλα θεωρήματα, λιγότερο γνωστά έξω από την κοινότητα των επαγγελματιών μαθηματικών. Σήμερα, η Υπόθεση του Ρίμαν, είναι η μεγάλη λευκή φάλαινα, το πιο περιζήτητο θήραμα της μαθηματικής έρευνας.
Ολόκληρος ο 20ός αιώνας χαρακτηρίστηκε από την αγωνία των μαθηματικών να αποδείξουν την Υπόθεση του Ρίμαν. Ας ακούσουμε τον Ντάβιντ Χίλμπερτ, μια από τις κορυφαίες μαθηματικές διάνοιες της εποχής του, καθώς απευθύνεται στο Δεύτερο Διεθνές Συνέδριο Μαθηματικών στο Παρίσι, τον Αύγουστο του 1900:

Προσφάτως έχει σημειωθεί σημαντική πρόοδος στη θεωρία της κατανομής των πρώτων αριθμών, από τον Ανταμάρ, τον ντε λα Βαλέ Πουσέν, τον φον Μάνγκολντ και άλλους. Ωστόσο, για την ολοκληρωμένη λύση των προβλημάτων που έθεσε ο Ρίμαν στο άρθρο του «Σχετικά με το πλήθος των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι από κάποιον δεδομένο αριθμό», εκκρεμεί η απόδειξη μιας εξαιρετικά σημαντικής πρότασης που διατύπωσε ο Ρίμαν, συγκεκριμένα…

Ακολουθεί η διατύπωση της Υπόθεσης του Ρίμαν. Εκατό χρόνια αργότερα, ο Φίλιπ Α. Γκρίφιθς, διευθυντής του Ινστιτούτου Ανωτέρων Μελετών του Πρίνστον και πρώην καθηγητής Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο Χάρβαρντ, γράφει στο τεύχος Ιανουαρίου του 2000 του American Mathematical Monthly, με τίτλο «Ερευνητικές προκλήσεις για τον 21ο αιώνα»:

Παρά τα συνταρακτικά επιτεύγματα του 20ού αιώνα, πολλά εξαιρετικής σημασίας προβλήματα εξακολουθούν να αναμένουν τη λύση τους. Οι περισσότεροι από εμάς θα συμφωνούσαν πιθανότατα ότι τα ακόλουθα τρία είναι από τα πιο προκλητικά και ενδιαφέροντα.
Η Υπόθεση του Ρίμαν. Το πρώτο είναι η Υπόθεση του Ρίμαν, που βασανίζει τους μαθηματικούς εδώ και 150 χρόνια…

Μια ενδιαφέρουσα εξέλιξη κατά τα τελευταία χρόνια του 20ού αιώνα στις Ηνωμένες Πολιτείες ήταν η εμφάνιση ιδιωτικών φορέων με αντικείμενο τη μαθηματική έρευνα, που τους χρηματοδοτούν εύποροι θιασώτες των Μαθηματικών. Τόσο το Ινστιτούτο Μαθηματικών Κλέι (που ιδρύθηκε το 1998 από τον Βοστονέζο χρηματιστή Λάντον Τ. Κλέι) όσο και το Αμερικανικό Ινστιτούτο Μαθηματικών (που δημιουργήθηκε το 1994 στην Καλιφόρνια από τον επιχειρηματία Τζον Φράι), έβαλαν στο στόχαστρό τους την Υπόθεση του Ρίμαν. Το Ινστιτούτο Κλέι θέσπισε βραβείο ενός εκατομμυρίου δολαρίων για την απόδειξη ή την κατάρριψή της· το Αμερικανικό Ινστιτούτο Μαθηματικών οργάνωσε τρία μεγάλα συνέδρια (1996, 1998, 2002), στα οποία συμμετείχαν ερευνητές από όλο τον κόσμο, με θέμα την Υπόθεση του Ρίμαν. Μένει να δούμε αν αυτές οι νέες προσεγγίσεις και πρωτοβουλίες θα καταφέρουν στο τέλος να την λυγίσουν.
Σε αντίθεση με το Θεώρημα των Τεσσάρων Χρωμάτων, ή το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά, η Υπόθεση του Ρίμαν δεν είναι εύκολο να διατυπωθεί με όρους που θα κατανοούσε εύκολα ένας μη μαθηματικός, επειδή βρίσκεται στο επίκεντρο μιας ιδιαιτέρως περίπλοκης μαθηματικής θεωρίας. Ας δούμε τη διατύπωσή της:

Υπόθεση του Ρίμαν
Όλες οι μη τετριμμένες ρίζες της συνάρτησης ζ έχουν πραγματικό μέρος ίσο με ½.

Για έναν συνηθισμένο αναγνώστη, ακόμα και ιδιαιτέρως μορφωμένο, που δεν έχει όμως παρακολουθήσει ειδικές μαθηματικές σπουδές, αυτή η διατύπωση είναι πιθανότατα ακατανόητη. Θα μπορούσε κάλλιστα να είναι μια κινέζικη παροιμία. Σ’ αυτό το βιβλίο επιχείρησα –πέρα από μια αφήγηση της ιστορίας της– να παρουσιάσω κάποιες από τις προσωπικότητες που αναμίχθηκαν στην Υπόθεση και να καταστήσω αυτή τη βαθιά και μυστηριώδη μαθηματική διατύπωση κατανοητή στο ευρύ αναγνωστικό κοινό, χρησιμοποιώντας μόνο όσα Μαθηματικά ήταν απαραίτητα.

* * * * *