Παίζει ο Θεός ζάρια?

Οι μεγάλοι επιστήμονες του εικοστού αιώνα νόμισαν ότι είχαν ανακαλύψει τους αδήριτους νόμους ενός σύμπαντος που «δουλεύει» με την ακρίβεια ενός ωρολογιακού μηχανισμού.
Όμως, έκαναν λάθος…

Από τα μικρότερα σωμάτια της κβαντικής φυσικής, τα «κενά» στη ζώνη των αστεροειδών, μέχρι τις μπάλες του μπιλιάρδου, τον καιρό και το χρηματιστήριο, τίποτε στο σύμπαν δεν συμπεριφέρεται με τρόπο που μπορεί ολοκληρωτικά να προβλεφθεί.
Όμως, ερωτάται: αν ο πραγματικός κόσμος είναι τόσο τυχαίος, ποια χρησιμότητα έχουν οι απλές γραμμές, οι σφαίρες και οι κύκλοι των παραδοσιακών μαθηματικών;
«Πολύ λίγη. Το υπογράφω υπεύθυνα», λέει ο Ian Stewart.

Οι μαθηματικοί, για να αντιμετωπίσουν επιτυχώς τον «άτακτο» κόσμο, ανέπτυξαν
την θεωρία του Χάους – την πιο παράξενη και επαναστατική σύλληψη των τελευταίων χρόνων. Η ιστορία, οι βασικές αρχές και πολλές πρακτικές εφαρμογές του Χάους, μας αποκαλύπτονται μέσα από το ελκυστικό αυτό βιβλίο.

«Δεν μπορώ να πιστέψω ότι ο Θεός παίζει ζάρια με τον Κόσμο».
Albert Einstein

To βιβλίο «Παίζει ο Θεός ζάρια?» είναι ένα διεθνές best seller. Mεταφράστηκε σε 28 γλώσσες και αποτελεί σημείο αναφοράς στη διεθνή βιβλιογραφία σχετικά με τη θεωρία του Χάους.

Περιεχόμενα:

Εισαγωγή:
το Χάος στην Ελληνική Αρχαιότητα

Πρόλογος:
Ωρολογιακός Μηχανισμός, ή Χάος;

1. Χάος από την Τάξη
2. Εξισώσεις για όλα
3. Οι Νόμοι του Λάθους
4. Ο Τελευταίος… “Καθολικιστής”
5. Εκκρεμές Μονής Κατεύθυνσης
6. Παράξενοι Ελκυστές
7. Το Εργοστάσιο του Καιρού
8. Συνταγή για Χάος
9. Ευαίσθητο Χάος
10. Σύνολα Φαϊγκενμπάουμ & Τιμές Φαϊγκενμπάουμ
11. Η Υφή της Πραγματικότητας
12. Επιστροφή στον Υπερίωνα
13. Η Ανισορροπία της Φύσης
14. Εχε γειά, Βαθιά μου Σκέψη

Επίλογος
39 ενδιαφέρουσες προτάσεις
Ευρετήριο

Επιλεγμένα αποσπάσματα:

Κβαντική Χαολογία
Το χάος αποκαλύφθηκε από τη Μαθηματική Φαντασία, και γεννήθηκε από τη Φυσική. Αλλά πού, άραγε, πηγαίνει; Πηγαίνει μέσα σε κάθε φυσικό φαινόμενο που παρουσιάζει αταξία, αλλά με συνθήκες που υποδηλώνουν ότι υπάρχει μια υποκείμενη δομή.
Τέτοια φαινόμενα εμφανίζονται παντού.
Μια ενδιαφέρουσα κατεύθυνση, την οποία –παρά την μικρή αναφορά στον Αϊνστάιν– αγνόησα μέχρι τώρα, είναι η κβαντομηχανική. Την παράβλεψα επειδή δεν έχουμε σοβαρή αιτιολογία για να πιστεύουμε ότι η χαοτική δυναμική, όπως την ξέρουμε σήμερα παρέχει κάποια λύση στο ερώτημα του Αϊνστάιν. Όμως, το χάος σχετίζεται με την κβαντομηχανική, γι’ αυτό επιτρέψτε μου να επανορθώσω αυτή την παράλειψη.
Δανείστηκα την επικεφαλίδα της ενότητας και την εξέταση του θέματος, από την Διάλεξη «Μπέικερ» του 1987 του συναδέλφου μου Μάικελ Μπέρρυ, ο οποίος είναι ένας καλά πληροφορημένος φυσικός. Αυτή η διάλεξη της Βασιλικής Εταιρείας που απολαμβάνει γενικού κύρους, ιδρύθηκε από τον Χένρυ Μπέικερ (Henry Baker), και ο Μπέρρυ άρχισε λέγοντας ότι την εποχή του Μπέικερ ο όρος «χαολογία» αναφερόταν στη μελέτη της εποχής του χάους – την περίοδο όπου «η Γη ήταν άδεια και χωρίς σχήμα», κάτι που μας θυμίζει την Εικόνα 1. Η χαολογία δεν είναι πια ένας ενεργός τομέας της θεολογίας, κι έτσι ο όρος είναι ελεύθερος για μια πιο σύγχρονη σημασία: τη μελέτη του ντετερμινιστικού χάους.
Η κβαντομηχανική είναι η σύγχρονη φυσική για το σύμπαν σε ατομικές κλίμακες μέτρησης. Στην κβαντομηχανική, ποσότητες όπως η ενέργεια δεν είναι συνεχείς: αντίθετα, εμφανίζονται σε διακριτά κομμάτια, τα κβάντα. Το μέγεθος ενός μόνου κβάντου είναι αφάνταστα μικρό, και δίνεται από έναν πολύ μικρό αριθμό, γνωστό ως σταθερά του Πλανκ (Plank). Και τα σωματίδια δεν είναι καθόλου σωματίδια, αλλά μια δυαδικότητα σωματιδίου-κύματος, που περιγράφεται από μια κυματοσυνάρτηση της κβαντομηχανικής.
Δεν είναι εύκολο να αποδώσουμε την κβαντομηχανική στην ανθρώπινη κλίμακα. Μάλιστα, μια άποψη υποστηρίζει ότι δεν έχει νόημα να το προσπαθήσουμε, επειδή ο κόσμος των κβάντων κι αυτός της δικής μας λογικής δεν έχουν τίποτα κοινό. Άλλοι διαφωνούν, και δίνουν διάφορες ερμηνείες. Σε μια δημοφιλή ερμηνεία, η κυματοσυνάρτηση δεν αντιπροσωπεύει την κατάσταση ενός σωματιδίου, αλλά μια υπέρθεση όλων των δυνατών καταστάσεων, και όταν πραγματοποιείται μια παρατήρηση, η κυματομορφή «συμπιέζεται» σε μια μόνη κατάσταση. Πριν από αυτόν τον εκφυλισμό, το τετράγωνο της κυματοσυνάρτησης αντιπροσωπεύει την πιθανότητα με την οποία το σύστημα θα βρεθεί σε μια δεδομένη κατάσταση.
Δεν μου αρέσει και πολύ αυτή η ερμηνεία. Όπως έχουμε δεί ούτε και στον Αϊνστάιν άρεσε. Επιτρέψτε μου να παραθέσω ένα μεγαλύτερο απόσπασμα από την επιστολή του προς τον Μαξ Μπόρν για να φανεί το γενικό του πλαίσιο:

Εσύ πιστεύεις σ’ έναν Θεό που παίζει ζάρια, κι εγώ πιστεύω στην αυστηρή νομοτέλεια και την τάξη, σ’ έναν κόσμο που υπάρχει αντικειμενικά, και τον οποίο, με έναν παράλογα στοχαστικό τρόπο, προσπαθώ να συλλάβω. Το πιστεύω ακράδαντα, αλλά ελπίζω ότι κάποιος θα ανακαλύψει έναν πιο ρεαλιστικό τρόπο, ή μάλλον θα θέσει μια πιο χειροπιαστή βάση από αυτή που μου έλαχε να θέσω εγώ. Ακόμη κι η σπουδαία αρχική επιτυχία της κβαντικής θεωρίας δεν με πείθει στο θεμελιώδες παιχνίδι των ζαριών, αν και ξέρω καλά ότι οι νεαροί συνεργάτες σου ερμηνεύουν αυτή μου την άποψη σαν επακόλουθο των γηρατειών.

Παρ’ όλα αυτά, τα κβαντομηχανικά γεγονότα φαίνονται ακόμη να πραγματοποιούνται με τον τρόπο που προσδιορίζει η κβαντομηχανική. Και ενώ η στατιστική της ραδιενεργούς αποδιέγερσης, για παράδειγμα, ακολουθεί συγκεκριμένους νόμους, κανείς δεν μπορεί να προβλέψει πότε ένα δεδομένο άτομο θα φτάσει στο κρίσιμο σημείο να αποδιεγερθεί. Ο Θεός παίζει ζάρια, ή παίζει ένα βαθύτερο παιχνίδι που δεν έχουμε ακόμη κατανοήσει;
Συμφωνώ με τον Αϊνστάιν. Η δεύτερη ιδέα –το βαθύτερο παιχνίδι που ακόμα δεν το καταλαβαίνουμε– με θέλγει πολύ περισσότερο. Λοιπόν… έχουμε συνειδητοποιήσει οριστικά ότι το ντετερμινιστικά χάος ευθύνεται για ένα μεγάλο μέρος της παρατηρημένης τυχαιότητας στην κλασική μηχανική. Μήπως το κβαντικό χάος είναι υπεύθυνο για την παρατηρημένη τυχαιότητα και στην κβαντομηχανική; Μήπως μπορούμε τώρα να εμβαθύνουμε στο βαθύτερο παιχνίδι του Θεού;
Οχι, δεν μπορούμε πρός το παρόν. Αν όντως υπάρχει κάποιο βαθύτερο παιχνίδι, είναι ακόμα πολύ βαθύ για μας, τα μαθητευόμενα μικρά πλασματάκια. Χρειαζόμαστε απεγνωσμένα έναν Αληθινό Ανθρωπο για να μας βάλει στο σωστό δρόμο.
Το χάος στα τυπικά κβαντικά συστήματα αυτοαποκαλύπτεται με αρκετά διαφορετικούς τρόπους απ’ αυτούς με τους οποίους εμφανίζεται στα κλασικά συστήματα. Ό,τι γνωρίζουμε για το χάος στην κβαντομηχανική δεν αφορά την τυχαιότητα της κυματοσυνάρτησης, αλλά τη χαοτική εξέλιξη των αναμενόμενων τιμών των παρατηρήσιμων μεγεθών. Υπάρχει μια μέθοδος γνωστή σαν ημικλασική προσέγγιση, η οποία μπορεί να περιγράψει κάποια κβαντομηχανικά συστήματα σύμφωνα με τα κλασικά τους αντίστοιχα.
Ένα ικανοποιητικά κατανοητό είδος συστήματος είναι το κβαντικό μπιλιάρδο. Το κλασικό σύστημα είναι ένα ελαστικό σωματίδιο που ανακλάται στο χείλος κάποιας περιοχής, όπως η μπάλα του μπιλιάρδου πάνω σ’ ένα τραπέζι με ασυνήθιστο σχήμα (Εικόνα 122). Μερικά σχήματα, όπως ο κύκλος, οδηγούν στη συνήθη δυναμική. Άλλα –όπως το γήπεδο Bunimovitch– δημιουργούν χάος. Η διάκριση είναι ξεκάθαρη στη μορφή, ή στην έλλειψη μορφής, που εμφανίζει η πορεία της μπάλας του μπιλιάρδου.
Το αντίστοιχο κβαντικό σύστημα είναι μια κυματοσυνάρτηση ορισμένη μέσα σε μια περιοχή που περιορίζεται από το τραπέζι, που αντιπροσωπεύει την πιθανότητα να βρούμε ένα κβαντομηχανικά σωματίδιο σ’ ένα δεδομένο σημείο. Το κβαντικό χάος αφήνει κι αυτό τα ίχνη του πάνω στο κβαντικό τοπίο. Η διάκριση ανάμεσα στην κανονική και στη χαοτική συμπεριφορά εμφανίζεται σαν διάκριση στις στατιστικές ιδιότητες των επιπέδων ενέργειας του κβαντικού συστήματος (Εικόνα 123). Τα διαστήματα ανάμεσα σ’ αυτά τα επίπεδα, κατανέμονται με έναν φαινομενικά τυχαίο τρόπο, που περιγράφεται κατά προσέγγιση από μια ομαλή καμπύλη. Ο τρόπος με τον οποίο η κατανομή των επιπέδων ενέργειας αποκλίνει απ’ αυτήν την καμπύλη εξαρτάται από το αν το κλασικό σύστημα είναι χαοτικό ή κανονικό. Παραδόξως, τα επίπεδα ενέργειας του κβαντικού ανάλογου ενός κανονικού κλασικού συστήματος, τείνουν να είναι ακανόνιστα, ενώ εκείνα που αντιστοιχούν σ’ ένα χαοτικό κλασικό σύστημα τείνουν να είναι κανονικά! Η αιτία αυτού του φαινομένου παραμένει αίνιγμα, μολονότι το φαινόμενο είναι πλήρως τεκμηριωμένο στα παραδείγματα.
Ωστόσο, το κβαντικό ανάλογο ενός χαοτικού κλασικού συστήματος δεν είναι απαραιτήτως χαοτικό. Ο διεγερμένος περιστροφέας, που αναφέρθηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο, αποτελεί ένα τέτοιο παράδειγμα. Ο κλασικός διεγερμένος περιστροφέας υφίσταται μια πολύπλοκη σειρά από φάσεις, και στη συνέχεια γίνεται χαοτικός. Όμως, το κβαντομηχανικό του ανάλογο ποτέ δεν προχωρεί πέρα από μια κατάσταση ημιπεριοδικότητας: η δυναμική του συμπεριφορά είναι κανονική, όχι χαοτική.
Από φυσική άποψη, αυτό έχει κάποιο νόημα. Το κλασικό χάος περιέχει φράκταλ ελκυστές, δηλαδή, έχει δομή σε όλες τις κλίμακες. Στην κβαντομηχανική όμως, τουλάχιστον όπως εννοείται σήμερα, δεν υπάρχει δομή σε κλίμακα μικρότερη από τη σταθερά του Πλάνκ. Έτσι, λοιπόν, τα κβαντικά φαινόμενα απαλείφουν τις πολυ λεπτές λεπτομέρειες που είναι τόσο απαραίτητες για το αληθινό χάος.

Ζάρια και Ντετερμινισμός
Μπορούμε όμως, να κάνουμε παράτολμες υποθέσεις, καθαρές εικασίες, σχετικά με το άλλο –το βαθύτερο– είδος απροσδιοριστίας: την κυματοσυνάρτηση.
Υπάρχει πάντα ένα ενδεχόμενο, ότι κάποια νέα εκδοχή της κβαντομηχανικής θα αντικαταστήσει την πιθανολογική φύση της κυματοσυνάτησης με κάτι ντετερμινιστικό, πλήν όμως χαοτικό. Ενδεχομένως κάθε ραδιενεργό άτομο υπακούει σε κάποια εσωτερική δυναμική, που κορυφώνεται σε μια αποδιέγερση πρός μια μη ραδιενεργή κατάσταση. Αν υπήρχε μια τέτοια δυναμική, θα ήταν ίσως χαοτική. Και αυτή η χαοτική δυναμική θα παρείχε μια ντετερμινιστική εξήγηση για την τυχαιότητα της αποδιέγερσης. Με λίγα λόγια, αυτό που έχει σημασία δεν είναι αν ο Θεός παίζει ζάρια – αλλά με ποιόν τρόπο παίζει.
Η ίδια παρατήρηση ισχύει επίσης και στο κλασικό επίπεδο, σε αντιστοιχία με το κβαντικό. Το σημαντικό εδώ δεν είναι ότι κάποιο σύστημα είναι τυχαίο, αλλά από πού προέρχεται η τυχαιότητα.
Θέλω να δείξω ότι η μεταφορά των ζαριών, με τις βασικές αρχές της θεωρίας των πιθανοτήτων, το νόμισμα με τις ισοπίθανες πλευρές κ.λπ., είναι από τις πιο άστοχες που επινοήθηκαν ποτέ – αν δεν αναθεωρήσουμε την άποψή μας για την τυχαιότητα.
Ας πάρουμε ένα ιδανικό ζάρι, έναν τέλειο ανελαστικό κύβο, που πέφτει πάνω σε μια τελείως επίπεδη ανελαστική επιφάνεια, όπου εφαρμόζεται κάποιος ακριβής νόμος τριβής, ο οποίος υπακούει στη Νευτώνια μηχανική. Πρέπει να τα πω αυτά για να εισάγω με ακρίβεια τα μαθηματικά. Είναι φανερό πως ό,τι κι αν είναι αυτό που κάνει ένα αληθινό ζάρι να είναι τυχαίο, θα πρέπει να εμφανιστεί επίσης και στο μοντέλο αυτό. Ακολουθώντας τα λεγόμενα του Λαπλάς, είναι σαφές ότι η Τεράστια Νόηση θα μπορούσε να υπολογίσει την τελική κατάσταση ηρεμίας του ζαριού από τη στιγμή που ρίχτηκε. Άρα, με μια βιντεοκάμερα κι έναν υπερυπολογιστή θα πρέπει να μπορούμε, τουλάχιστον στοιχειωδώς, να προβλέπουμε την έκβαση πριν αυτή ολοκληρωθεί…