Άπειρο

«Λυπηθείτε τους ποιητές που τους τρελαίνουν ένα δισεκατομμύριο εκδοχές για έναν και μοναδικό κόσμο.»
Τάσος Λειβαδίτης

Τι θα σήμαινε για εμάς –κοινωνικά, πνευματικά, νομικά, υλικά και ψυχολογικά– το να ζούμε για πάντα;
Ποια είναι η φύση ενός άπειρου συνόλου;
Μπορούμε να κάνουμε λόγο για μικρά και για μεγάλα άπειρα;
Άραγε, το Σύμπαν θα υπάρχει αιωνίως;
Σε ένα άπειρο Σύμπαν μπορεί να συμβεί οτιδήποτε;
Άραγε, ο Θεός είναι άπειρος; Και αν ναι, δεν πρέπει να είναι «πιο μεγάλος» από τα εγκόσμια άπειρα, όπως είναι ο ανεξάντλητος κατάλογος των θετικών αριθμών;
Πόσα άτομα φιλοξενούνται στο ξενοδοχείο ΤΟ ΑΠΕΙΡΟΝ, του γερμανού μαθηματικού Ντάβιντ Χίλμπερτ;

Οι αρχαίοι φιλόσοφοι με πρώτο τον Ζήνωνα αναμετρήθηκαν με τα παράδοξα του απείρου σε πολλά μέτωπα. Οι σύγχρονοι φιλόσοφοι, όμως, τι λένε; Το άπειρο απασχόλησε έντονα τους μαθηματικούς. Το θέμα ήταν σοβαρό και αποδείχτηκε ένα από τα δυσκολότερα προβλήματα που κλήθηκαν ποτέ να αντιμετωπίσουν. Πάνε μόλις 70 χρόνια, από τότε που η μαθηματική κοινότητα διχάστηκε γύρω από την ερμηνεία του απείρου, με αποτέλεσμα να ξεσπάσει στους κόλπους της μια σκληρή εμφύλια διαμάχη. Πολλοί έχασαν την καριέρα τους· άλλοι έχασαν τη ζωή τους· κάποιοι έχασαν την ελευθερία τους και δεν ήταν λίγοι εκείνοι που έχασαν το μυαλό τους.

Οι λέξεις άπειρο και απέραντο είναι συνώνυμες. Κι όμως υπάρχουν πεπερασμένα πράγματα –η επιφάνεια μιας μπάλας–, που δεν έχουν τέλος. Μια μύγα θα μπορούσε να περπατά αιώνια σε μια τέτοια επιφάνεια χωρίς να συναντήσει την άκρη της.
Η παράξενη έννοια του απείρου ανέκαθεν προκαλούσε τη σκέψη.
Από την αρχαιότητα ώς τις ημέρες μας, συνειδητοποιούμε ότι υπάρχουν «πολλών ειδών» άπειρα, και ότι ο καθένας μπορεί κάλλιστα να πιστεύει σε ένα είδος και να απορρίπτει ένα άλλο. Ένας παραγνωρισμένος μαθηματικός, προικισμένος καλλιτέχνης και σπάνια μεγαλοφυία ήθελε να δείξει ότι η ύπαρξη του Θεού αποδεικνύεται και με μαθηματικό τρόπο· πέθανε ολομόναχος σε ένα σανατόριο, αφού υπέφερε χρόνια από τους συναδέλφους του και την κατάθλιψη.
Εκτός από τη συγκινητική ιστορία του Κάντορ, το άπειρο κρύβει μέσα του άπειρα ζητήματα -στο μεταίχμιο φιλοσοφίας και μαθηματικών- και υπόσχεται τροφή στη νόηση «εις τους αιώνας των αιώνων»!

Η έννοια του απείρου πάντα θα εισβάλλει στη σκέψη μας όταν αναρωτιόμαστε αν το Σύμπαν έχει αρχή και τέλος, αν μέσα σ’ αυτό θα υπάρχει πάντοτε ζωή…
Άλλοτε δαιμονοποιούσαμε το άπειρο ως πρόξενο σύγχυσης. Σήμερα συνειδητοποιούμε ότι είναι ένας αξιόπιστος οδηγός στην αναζήτηση της αλήθειας. Η προσπάθεια να κατανοήσουμε την φύση της ύλης και το σύμπαν του χώρου και του χρόνου μπορεί τελικά να εξαρτάται απόλυτα και αποκλειστικά από τη στάση που επιλέγουμε να τηρήσουμε απέναντι στο άπειρο. Το βέβαιο είναι ότι έχουμε ακόμη πολλά να μάθουμε – τα περισσότερα κρύβονται μέσα σ’ αυτό το υπέροχο βιβλίο.

«…ένα θέμα άπειρης γοητείας, ένας μαθηματικός απαράμιλλης συγγραφικής ικανότητας, ένα βιβλίο απείρου κάλλους. Διαβάζεται πιο ευχάριστα κι απ’ το καλύτερο αστυνομικό μυθιστόρημα.»
Good Book Guide

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Το βιβλίο αυτό έχει ως θέμα το μεγαλύτερο αντικείμενο μελέτης στον κόσμο. Είναι ένας ταξιδιωτικός οδηγός για ό,τι θα μπορούσε να υπάρχει, ένα βιβλίο που σας ξεναγεί στο γοητευτικό και πολύπλοκο κόσμο του απείρου.
Η έννοια του απείρου βασανίζει την ανθρώπινη σκέψη εδώ και χιλιάδες χρόνια. Θεολόγοι και επιστήμονες προσπάθησαν να το κατανοήσουν, να το τιθασεύσουν, να ανακαλύψουν τα διάφορα σχήματα και διαστάσεις του, και τελικά να αποφασίσουν αν έχει μια θέση στις θεωρίες μας για το Σύμπαν ή όχι, αν αποτελεί μέρος του προβλήματος ή συστατικό της λύσης.
Τα τελευταία χρόνια το επιστημονικό ενδιαφέρον για το άπειρο έχει αναζωπυρωθεί. Οι εντεινόμενες προσπάθειες των φυσικών να διατυπώσουν μια Θεωρία των Πάντων καθοδηγούνται από μια ορισμένη στάση απέναντι στους απειρισμούς. Η εμφάνιση απειρισμών στα αποτέλεσματα ερμηνεύεται ως προειδοποίηση ότι οι έρευνές τους για την αλήθεια βρίσκονται σε λάθος δρόμο. Ο ενθουσιασμός που προκάλεσαν με την εμφάνισή τους οι θεωρίες των υπερχορδών, οφείλεται ακριβώς στο γεγονός ότι κατάφεραν με έξυπνο τρόπο να αποφύγουν το σκόπελο των απειρισμών, που ευθύνονταν για την αποτυχία όλων των προηγούμενων θεωριών.
Αυτές οι συναρπαστικές καινούριες θεωρίες δεν δίνουν μια οριστική απάντηση στο ερώτημα αν η ύλη είναι επ’ άπειρον διαιρετή. Δημιουργείται έτσι μια σειρά από ερωτήματα: θα ανακαλύπτουμε άραγε πάντα όλο και πιο μικρά, όλο και πιο στοιχειώδη σωματίδια μέσα σ’ αυτά που ήδη γνωρίζουμε, σαν να ανοίγουμε μια ρώσικη κούκλα που μέσα της εμπεριέχει άπειρες άλλες, ή υπάρχει ένας «ελάχιστος φραγμός», μια ελάχιστη μονάδα του χώρου ή του χρόνου όπου η διαδικασία της διαίρεσης σταματά; Ή μήπως τα δομικά στοιχεία απ’ τα οποία είναι υφασμένος ο κόσμος δεν είναι μικροσκοπικά σωματίδια, αλλά κάτι άλλο;
Για τους κοσμολόγους, το άπειρο δημιουργεί άλλου είδους προβλήματα. Για πολλές δεκαετίες, οι ειδικοί ήταν ικανοποιημένοι με την εκδοχή ότι το Σύμπαν του χώρου και του χρόνου ξεκίνησε από μια «ιδιομορφία» όπου όλα τα μεγέθη ήταν άπειρα –άπειρη πυκνότητα, άπειρη θερμοκρασία κτλ. Όμως στη θεωρία που θα προκύψει από το γάμο βαρύτητας και κβαντικής θεωρίας, θα υπάρχουν περιθώρια για την ύπαρξη τέτοιων εν ενεργεία απείρων; Και, όταν αυτά θα εμφανίζονται, θα πρέπει να ερμηνεύονται ως ένδειξη επιτυχίας ή αποτυχίας των θεωριών μας; Θα είναι μια προειδοποίηση ότι μας λείπουν ακόμα σημαντικά κομμάτια του παζλ, ή ότι είναι ένα αναπόσπαστο μέρος της απάντησης στα μεγάλα ερωτήματα για την αρχή και το τέλος του Σύμπαντος, τις στιγμές της Μεγάλης Έκρηξης και της Μεγάλης Σύνθλιψης;
Ένα άλλο άπειρο που έχει απασχολήσει την κοσμολογία είναι το ενδεχόμενο ενός άπειρου μέλλοντος. Το Σύμπαν θα συνεχίσει να υπάρχει για πάντα; Και αν ναι, τι σημαίνει «για πάντα»; Μπορεί η ζωή, σε οποιαδήποτε μορφή της, να συνεχίζεται αιώνια; Και, για να έρθουμε στον άνθρωπο, τι θα σήμαινε για εμάς –κοινωνικά, πνευματικά, νομικά, υλικά και ψυχολογικά– το να ζούμε για πάντα;
Το άπειρο, και συγκεκριμένα το αν υπάρχει ως πραγματικό μέγεθος ή όχι, απασχόλησε έντονα και τους μαθηματικούς. Το θέμα ήταν σοβαρό και αποδείχθηκε ένα από τα δυσκολότερα προβλήματα που κλήθηκε ποτέ να αντιμετωπίσει η επιστήμη των μαθηματικών. Πάνε μόλις εβδομήντα χρόνια από τότε που η μαθηματική κοινότητα διχάστηκε γύρω από το ζήτημα της ερμηνείας των απείρων, με αποτέλεσμα να ξεσπάσει στους κόλπους της μια σκληρή και μακρόχρονη εμφύλια διαμάχη. Όλα ξεκίνησαν όταν κάποιοι, θέλοντας να εξαλείψουν το άπειρο από τα μαθηματικά, επιχείρησαν να οριοθετήσουν εκ νέου την επιστήμη των μαθηματικών, έτσι ώστε το άπειρο να μην μπορεί πλέον να θεωρηθεί ως κάτι το πραγματικό. Η ένταση που ακολούθησε είχε ως αποτέλεσμα να διακοπεί η κυκλοφορία ορισμένων μαθηματικών περιοδικών και να τεθούν στο περιθώριο κάποιοι μαθηματικοί, μόνο και μόνο επειδή προσπάθησαν να αποβάλουν το άπειρο από τα μαθηματικά.
Η όλη διαμάχη πυροδοτήθηκε από το έργο ενός ανθρώπου, του μεγαλοφυούς Γκέοργκ Κάντορ, ο οποίος κατάφερε να εξηγήσει τα παράδοξα που είχε διατυπώσει για το άπειρο τρεις αιώνες νωρίτερα ο Γαλιλαίος. Ποια είναι η φύση ενός άπειρου συνόλου; Πώς είναι δυνατόν να του αφαιρούμε στοιχεία κι αυτό να παραμένει άπειρο; Μπορούμε να κάνουμε λόγο για μικρότερα και μεγαλύτερα άπειρα; Υπάρχει ένα υπέρτατο άπειρο που πέρα απ’ αυτό τίποτε μεγαλύτερο δεν μπορεί να νοηθεί ή να κατασκευαστεί, ή τα άπειρα δεν τελειώνουν ποτέ; Ο Κάντορ δεν πρόλαβε να δει τους καρπούς της διάνοιάς του να αναγνωρίζονται και να ενσωματώνονται στον κορμό της αποδεκτής μαθηματικής γνώσης. Υπονομευόμενος από ισχυρούς πολέμιους του μαθηματικού απειρισμού, έμεινε για μεγάλα διαστήματα μακριά από τα μαθηματικά και, παρά τη θερμή υποδοχή που επιφύλαξαν στις ιδέες του οι Καθολικοί θεολόγοι, πέθανε τελικά ολομόναχος σε κάποιο σανατόριο, αφού υπέφερε χρόνια από την αρρώστια και την κατάθλιψη. Αυτός ήταν ο Κάντορ, ένας παραγνωρισμένος ήρωας των μαθηματικών, προικισμένος καλλιτέχνης και σπάνια μεγαλοφυΐα: τη συγκινητική ιστορία του θα την παρακολουθήσουμε σε επόμενο κεφάλαιο.
Από τα αρχαία χρόνια μέχρι σήμερα, οι θεολόγοι πασχίζουν να κατανοήσουν τα άπειρα που κρύβονται στα θρησκευτικά τους δόγματα και πιστεύω. Ο Θεός είναι άπειρος; Και αν ναι, δεν πρέπει να είναι «πιο μεγάλος» από τα εγκόσμια άπειρα, όπως είναι ο ανεξάντλητος κατάλογος των θετικών αριθμών; Πώς ερμηνεύουν το άπειρο οι διάφορες θρησκείες; Ως απειλή για την πίστη ή ως έμμεση εκδήλωση του υπερβατικού, αυτού που ξεπερνά τα ανθρώπινα μέτρα; Σε όλα αυτά τα ερωτήματα ο Κάντορ απαντά με εντελώς αναπάντεχο τρόπο.
Οι αρχαίοι φιλόσοφοι, με πρώτο τον Ζήνωνα, αναμετρήθηκαν με τα παράδοξα του απείρου σε πολλά μέτωπα. Οι σύγχρονοι φιλόσοφοι, όμως, τι λένε; Αυτούς ποια προβλήματα τους απασχολούν; Στα επόμενα κεφάλαια, θα εξετάσουμε κάποια νέα ζητήματα που ανακύπτουν στο μεταίχμιο φιλοσοφίας και επιστήμης, όπως το κατά πόσον είναι δυνατή η εκτέλεση άπειρων εργασιών σε πεπερασμένο χρόνο. Ένας πραγματικός υπολογιστής θα μπορούσε να εκτελέσει μια τέτοια υπερ-εργασία; Και αν ναι, τι θα σήμαινε αυτό; Για τους φιλοσόφους, βέβαια, αυτό το φαινομενικά τόσο απλό ερώτημα απαιτεί μια σειρά από διευκρινίσεις: ας πούμε, τι ακριβώς σημαίνουν οι λέξεις «δυνατόν», «εργασία», «άπειρο», «πεπερασμένο» ή, ακόμα περισσότερο, τι σημαίνει «χρόνος»;
Κάνοντας μια ευρύτερη επισκόπηση της σύγχρονης επιστήμης, συναντάμε ένα πλήθος προβλημάτων που σχετίζονται με το άπειρο: το Σύμπαν είναι άπειρο ή πεπερασμένο; Θα υπάρχει για πάντα; Το παρελθόν είναι άπειρο; Σε ένα άπειρο Σύμπαν μπορεί να συμβεί οτιδήποτε; Υπάρχουν προβλήματα που για να τα λύσει ένας υπολογιστής θα απαιτούνταν άπειρος χρόνος; Και αν ναι, τι είδους προβλήματα είναι αυτά;
Για τον περισσότερο κόσμο, οι λέξεις άπειρο και απέραντο είναι συνώνυμες. Κι όμως υπάρχουν πεπερασμένα πράγματα, όπως για παράδειγμα η επιφάνεια μιας μπάλας του μπιλιάρδου, που δεν τελειώνουν πουθενά. Μια μύγα θα μπορούσε να περπατά αιώνια σε μια τέτοια επιφάνεια χωρίς να συναντήσει την άκρη της. Για τους καμπύλους χώρους βέβαια αυτό δεν ισχύει –τι γίνεται όμως αν αποκτήσουν άπειρη καμπυλότητα; Και αφού, όπως απέδειξε ο Αϊνστάιν, το διάστημα είναι καμπύλο, τι μπορεί να σημαίνει αυτό για το Σύμπαν;
Υπό ορισμένες ασυνήθιστες προϋποθέσεις ακόμα και ο χρόνος μπορεί να είναι πεπερασμένος, παρ’ όλο που δεν έχει τέλος. Συνήθως, αντιλαμβανόμαστε το χρόνο σαν μια ευθεία που εκτείνεται μπροστά μας, σαν κάτι γραμμικό. Κάθε συμβάν μπορεί να τοποθετηθεί χρονικά στο παρελθόν ή στο μέλλον κάποιου άλλου συμβάντος. Στο Σύμπαν, ωστόσο, τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά. Φανταστείτε μια σειρά από στρατιώτες που παρελαύνουν στοιχημένοι ο ένας πίσω απ’ τον άλλο: κάθε στρατιώτης ξέρει ποιος βρίσκεται μπροστά του και ποιος πίσω του. Αν τώρα τους βάλουμε να παρελάσουν σε κυκλική διάταξη, όλοι θα βρίσκονται μπροστά και πίσω από όλους τους άλλους! Θα πάψει, δηλαδή, να υπάρχει σειρά. Κάτι ανάλογο ισχύει και με το χρόνο. Αν δεχτούμε ότι γίνεται κυκλικός, τότε το ταξίδι στο χρόνο παύει να είναι αδύνατο και δημιουργούνται μια σειρά από αλλόκοτα παράδοξα. Αν, για παράδειγμα, μετά την ανάγνωση αυτού του βιβλίου ταξιδεύατε πίσω στο χρόνο και μου λέγατε, λέξη προς λέξη, τι λέει μέσα, τότε σε ποιον θα έπρεπε να θεωρήσουμε ότι ανήκε η ιδέα του βιβλίου; Εσείς θα την είχατε πάρει από εμένα κι εγώ από εσάς. Θα ήταν σαν το βιβλίο αυτό να δημιουργήθηκε εκ του μηδενός –όπως περίπου και το Σύμπαν.
Θα ήθελα να ευχαριστήσω τους Λούκα Ρονκόνι, Σέρτζιο Εσκομπάρ, Πίνο Ντόνγκι, Μπρούνα Τορτορέλα, Σεραφίνο Αμάτο, Τζούλιο Τζορέλο, Πολ Ντέιβις, Μάικλ Μπρουκς, Γεργκ Χένσγκεν, Γουίλ Σάλκιν, Γκάρι Γκίμπονς, Τζόζεφ Ντόμπεν, Καρλ Φράιταγκ, Ζάνα Λέβιν, Στίβεν Κλαρκ και Στίβεν Μπραμς για τη συνδρομή και τις ιδέες τους στα διάφορα στάδια της συγγραφής αυτού του βιβλίου. Το βιβλίο είναι αφιερωμένο στον Λούκα Ρονκόνι, που χάρη στο δημιουργικό ενθουσιασμό του το Infinities γνώρισε τόσο μεγάλη επιτυχία στην ιταλική θεατρική σκηνή. Θα ήθελα επίσης να πω ένα μεγάλο ευχαριστώ στην Ελίζαμπεθ για την απέραντη υπομονή της, αλλά και στα παιδιά μας, που δεν είναι πλέον παιδιά και που ακόμη δεν έχουν πειστεί ότι ο κόσμος χρειάζεται κι άλλα βιβλία, πόσο μάλλον βιβλία σαν κι αυτό που απ’ τον τίτλο του ακουγόταν ατελείωτο…

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Πρόλογος

1. Πολύ κακό για… τα πάντα
Το άπειρο για αρχάριους
Μερικά γενικά στοιχεία για το άπειρο
Η ώρα του Ζήνωνα

2. Από τη φαντασία στην πραγματικότητα: το κατά προσέγγιση και το ενεργεία άπειρο
Σκοτάδι μες στο καταμεσήμερο
Μια καθαρά αριστοτελική σχέση
Το άπειρο και ο Θεός
Λίγα λόγια για την καντιανή θεώρηση

3. Καλώς ήλθατε στο Ξενοδοχείο «Το Άπειρον»
Ξενοδοχεία
Αναμνήσεις από το Ξενοδοχείο «Το Άπειρον»
Τα λογιστικά του Ξενοδοχείου «Το Άπειρον»

4. Το άπειρο δεν είναι ένας πολύ μεγάλος αριθμός
Ένας κοινός μύθος για το άπειρο
Το παράδοξο του Αλβέρτου της Σαξονίας
Το παράδοξο του Γαλιλαίου
Κάδμος και Αρμονία
Κατάληξη 0, 1/2 και 1
Αριθμήσιμα άπειρα
Μη-αριθμήσιμα άπειρα
Το ύψιστο infinito

5. Η τρέλα του Γκέοργκ Κάντορ
Κάντορ και υιός
Το χρονικό του Κρόνεκερ
Ο Κάντορ, ο Θεός και το Άπειρο – μια άρρηκτη τριάδα
Τέλος κακό, όλα κακά

6. Το άπειρο δεν είναι ένα, αλλά τρία
Το τρίπτυχο του απείρου
Το φυσικό άπειρο
Γυμνά άπειρα
Το απέραντο μακρινό γαλάζιο
Το άπειρο στο εδώλιο

7. Το σύμπαν: άπειρο ή πεπερασμένο;
Το σύμπαν
Οι κοσμολογικές έρευνες μεταφέρονται στα υπόγεια
Καμπύλα σύμπαντα
Το πρόβλημα της τοπολογίας
Το πρόβλημα της ομοιομορφίας
Το πρόβλημα της επιτάχυνσης
Συμπέρασμα…;
Η λάμψη

8. Το παράδοξο των άπειρων αντιγράφων
Ένα σύμπαν χωρίς πρωτοτυπία
Πώς αποφεύγουμε όλους αυτούς τους σωσίες;
Η χρονική εκδοχή του παράδοξου της αντιγραφής– το παρελθόν επαναλαμβάνεται
Ιστορία χωρίς τέλος
Το άπειρο και η ηθική φιλοσοφία

9. Μια απειρία κόσμων
Ιστορική αναδρομή
Πέρα απ’ αυτόν τον κόσμο
Πληθωρισμός – τα πάντα διαστέλλονται
Η παρέμβαση της συνείδησης – οι άντρες με τα μαύρα
Σύμπαντα προσομοίωσης
Ζώντας σε μια προσομοίωση

10. Φτιάχνοντας τη μηχανή του απείρου
Υπερ-εργασίες
Ο λαμπτήρας του Τόμσον
Ο Κώδικας του Άμπελ
Το πρόβλημα του τελικού βήματος
Η θεωρία της σχετικότητας και η ρευστότητα των μεγεθών
Όλα είναι θέμα χρόνου
Νευτώνειες υπερ-εργασίες
Σχετικότητα και υπερ-εργασίες
Μεγάλες εκρήξεις και μεγάλες συνθλίψεις

11. Η αιώνια ζωή
Το τέλος της παιδικής ηλικίας
Η κοινωνιολογία της αθανασίας
Το άπειρο μέλλον και τα προβλήματα που γεννά
Το παράξενο, το οικείο και η λήθη
Ταξίδι στο χρόνο και ταμπού
Το Παράδοξο της Γιαγιάς
Λογικές ιστορίες
Τουρίστες από το μέλλον
Χρονοταξιδιώτες στο χρηματιστήριο: η υπέρτατη μηχανή χρήματος
Γιατί δεν μπορούμε να αλλάξουμε το παρελθόν;
Το άπειρο – όλα δεν τελειώνουν κάποτε;

Σημειώσεις

Ευρετήριο