Μεταμαθηματικά

Ας εξηγήσω τι είναι ο αριθμός Ω.

Είναι ένας αριθμός-κόσμημα· είναι ένας αριθμός που έχει προσελκύσει μεγάλη προσοχή, γιατί είναι ιδιαίτερα επικίνδυνος! Το Ω ορίζεται ως η πιθανότητα τερματισμού αυτού που οι επιστήμονες ονομάζουν οικουμενικό υπολογιστή ή οικουμενική μηχανή Τιούρινγκ. (Στην πραγματικότητα, η τιμή του Ω εξαρτάται από την επιλογή του υπολογιστή και στο The Limits of Mathematics επέλεξα έναν συγκεκριμένο υπολογιστή.) Συνεπώς το Ω είναι μια πιθανότητα, άρα είναι ένας πραγματικός αριθμός, ένας αριθμός άπειρης ακρίβειας μεταξύ του 0 και του 1. Αυτό μπορεί να μην ακούγεται και τόσο επικίνδυνο!
[Είναι ειρωνεία το γεγονός ότι ο αστέρας μιας διακριτής θεωρίας είναι πραγματικός αριθμός! Αυτό αναδεικνύει τη δημιουργική ένταση ανάμεσα στο συνεχές και το διακριτό.]

Το επικίνδυνο σχετικά με το Ω είναι (α) ότι έχει έναν απλό, ευθύ μαθηματικό ορισμό αλλά ταυτόχρονα (β) η αριθμητική τιμή του δεν είναι δυνατόν να γίνει γνωστή, διότι μια τυπική μαθηματική θεωρία (που η πολυπλοκότητα μεγέθους προγράμματός της ή η επεξηγηματική ισχύς της είναι Ν bit) δεν είναι δυνατόν να μας επιτρέψει να υπολογίσουμε περισσότερα από Ν bit του αναπτύγματος στο δυαδικό σύστημα του Ω. Με άλλα λόγια, αν θέλετε να υπολογίσετε το Ω οι θεωρίες δε βοηθούν πάρα πολύ αφού απαιτούνται Ν bit θεωρίας για να υπολογιστούν Ν bit του Ω. Τα bit του Ω στο δυαδικό του ανάπτυγμα έχουν τη μέγιστη πολυπλοκότητα, δεν υπάρχει καθόλου πλεονασμός και το Ω είναι ένα πρώτης τάξεως παράδειγμα για το πώς η αγνή και άδολη άπειρη πολυπλοκότητα εμφανίζεται στα θεωρητικά μαθηματικά!

Εάν θέλαμε να χαρακτηρίσουμε μονολεκτικά αυτό το βιβλίο θα αρκούσε η λέξη «πάθος». Η ιστορία των Μεταμαθηματικών μοιάζει με ένα «ανθρώπινο δράμα»: ιδιοφυείς μαθηματικοί εφαρμόζουν –ανά εποχές– τις μεθόδους τους προκειμένου να «σκάψουν» βαθιά στις ρίζες των μαθηματικών και να αμφισβητήσουν τους περιορισμούς της ίδιας της επιστήμης τους.

Τα μαθηματικά ταυτίζονται με τον φορμαλισμό, την τελειότητα, τον απόλυτο υπολογισμό, την πλήρη τυπικότητα, την πληρότητα, την αδιαμφισβήτητη βεβαιότητα. Ή μήπως όχι; Μήπως ταυτίζονται με την τυχαιότητα, το αίνιγμα και το παράδοξο;
Ο «βασιλιάς των Μεταμαθηματικών», ο εκκεντρικός Κουρτ Γκέντελ, το 1931 δημοσίευσε το φημισμένο του θεώρημα της μη πληρότητας.
Ο «πατέρας των υπολογιστών», ο ιδιοφυής Άλαν Τιούρινγκ, το 1936 συγκλόνισε τον κόσμο παρουσιάζοντας τον πρώτο ψηφιακό υπολογιστή και τη θεωρία του για τη μη υπολογισιμότητα.
Στις μέρες μας, στ’ αχνάρια αυτών των δύο γιγάντων του 20ού αιώνα, ο πρωτοπόρος διανοητής Γκρέγκορι Τσέιτιν, κλονίζει συθέμελα το οικοδόμημα των μαθηματικών και ρίχνει το γάντι στους θεωρητικούς παρουσιάζοντας τον απόλυτο συμβολισμό της άπειρης πολυπλοκότητας: τον αριθμό Ω.
Ωστόσο, το όραμα του Χίλμπερτ –που ήθελε τον φορμαλισμό να είναι η Θεωρία των Πάντων στα μαθηματικά–, μολονότι έχει συμπληρώσει έναν αιώνα ζωής, σηματοδοτεί ακόμη την πορεία πολλών μαθηματικών. Όμως, ο φορμαλισμός απευθύνεται στις μηχανές, όχι στους ανθρώπους – είναι πλέον καιρός να συνέλθουμε από αυτή την ασθένεια!

«Η μαγεία των μαθηματικών έγκειται στη δημιουργικότητά τους, στη σύλληψη νέων εννοιών, στην αλλαγή οπτικής γωνίας, όχι στη μηχανική αναπαραγωγή κανόνων και ιδεών. Όταν επεξεργάζομαι στον υπολογιστή μου μια καινούρια ιδέα, σταματώ τις συνηθισμένες μου δραστηριότητες, δεν πληρώνω τους λογαριασμούς μου, ακυρώνω τα ραντεβού μου με τους γιατρούς.
Για μένα τα μαθηματικά είναι η πύλη για τη φιλοσοφία· βυθίζομαι στα θεμέλιά τους, νιώθω τις ιδέες τους να με αποπλανούν, παθιάζομαι με τη σαφήνεια και την οξύτητά τους, με συνεπαίρνει ένας παράλογος αισθησιασμός, βιώνω την απόλυτη απόλαυση.
Στα παιδικά μου χρόνια μαγεύτηκα από τους υπολογιστές. Τι ελκυστικό παιχνίδι! Τι απέραντα εύπλαστο καλλιτεχνικό μέσο έκφρασης! Λάτρεψα τον προγραμματισμό. Περισσότερο όμως με μάγευε το ότι ο υπολογιστής ήταν μια νέα φιλοσοφική και μαθηματική έννοια. Είμαι μαθηματικός και το χαίρομαι! Ωστόσο, υπάρχουν και κάποιοι που πιστεύουν ότι κάτι δεν πάει καλά μ’ εμένα…»

Οι θετικές επιστήμες βασίζονται στα μαθηματικά. Ωστόσο, οι μαθηματικοί συνειδητοποίησαν ότι τα ίδια τα μαθηματικά έχουν σοβαρούς περιορισμούς. Αυτό αποκαλύφθηκε πρώτα στο έργο δυο γιγάντων των μαθηματικών του 20ού αιώνα: του Κουρτ Γκέντελ και του Άλαν Τιούρινγκ.

Τώρα, ο διάδοχός τους, Γκρέγκορι Τσέιτιν, ψάχνει ακόμα πιο βαθιά στα θεμέλια των μαθηματικών, δείχνοντας πως τα μαθηματικά είναι γεμάτα τυχαιότητα, αινίγματα και παράδοξα. Η ανακάλυψη του Τσέιτιν, ο αριθμός Ω, είναι μια εξαιρετικά πολύπλοκη αναπαράσταση του «αγνωστικισμού» των μαθηματικών. Οι έρευνές του ρίχνουν φως στο τι τελικά μπορούμε να γνωρίζουμε σχετικά με το σύμπαν και τη φύση της ζωής. Αν όμως ο «αγνωστικισμός» βρίσκεται στην καρδιά των θεωριών του Τσέιτιν, το μεγάλο προτέρημα αυτού του βιβλίου είναι η συναρπαστική του πληροφόρηση. Με ενθουσιώδη αφήγηση, ο Τσέιτιν μοιράζεται μαζί μας το πάθος του για τα μαθηματικά στο πιο βαθύ φιλοσοφικό τους επίπεδο και περιγράφει τα νοητικά και διαισθητικά βήματα που έκανε στο δρόμο προς το Ω. Στην τελική του ανάλυση, μας δείχνει ότι τα μαθηματικά είναι τέχνη και λογική μαζί, πειραματική επιστήμη και καθαρός συλλογισμός. Καταφέρνει να μας δείξει την τέχνη – και την απέριττη ομορφιά – της επιστήμης των μαθηματικών.

Ο Τσέιτιν αφιέρωσε τη ζωή του σε μια προσπάθεια να κατανοήσει τι μπορούν και τι δεν μπορούν να κατορθώσουν τα μαθηματικά· είναι μέλος του κινήματος ψηφιακής φιλοσοφίας / ψηφιακής φυσικής. Βασική θέση του κινήματος είναι ότι ο κόσμος αποτελείται από ψηφιακή πληροφορία (bit τύπου 0 και 1) και ότι το σύμπαν είναι μια γιγάντια μηχανή επεξεργασίας της πληροφορίας, ένα τεράστιος υπολογιστής. Διατρέχοντας την ιστορία των ιδεών, ο Τσέιτιν ανάγει την ψηφιακή φιλοσοφία στην ξεχασμένη ιδιοφυΐα του 17ου αιώνα, τον Λάιμπνιτζ. Μας εξηγεί ακόμα πώς ανακάλυψε τον περίφημο αριθμό Ω, ο οποίος αποτελεί το ορόσημο όλων όσων μπορούν να επιτύχουν τα μαθηματικά.

Το βιβλίο είναι μια μοναδική ευκαιρία για να διεισδύσουμε στο μυαλό ενός δημιουργικού μαθηματικού, και να ατενίσουμε έναν λαμπρό κόσμο υψηλών σκέψεων, έναν κόσμο που μόνο ελάχιστοι πνευματικοί ορειβάτες καταφέρνουν να αντικρίσουν.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Πρόλογος
Αποσπάσματα από τον Λάιμπνιτς και τον Γαλιλαίο
Φραντς Κάφκα: Μπροστά στο νόμο

Κεφ. 1 Εισαγωγή
Κεφ. 2 Τρεις παράξενοι έρωτες:
Πρώτοι αριθμοί / Γκέντελ / LISP
Κεφ. 3 Ψηφιακή πληροφορία: DNA / λογισμικό / Λάιμπνιτς
Κεφ. 4 Ιντερμέτζο
Κεφ. 5 Ο λαβύρινθος του συνεχούς
Κεφ. 6 Πολυπλοκότητα, τυχαιότητα και μη πληρότητα
Κεφ. 7 Επίλογος

Διαβάζοντας ένα σημείωμα στο περιοδικό Nature μαθαίνω
Μαθηματικό ποίημα
Βιβλία / θεατρικά έργα / μιούζικαλ σχετικά με το θέμα
Παράρτημα Ι
Παράρτημα ΙΙ
Ευρετήριο